Den Denker von Hamangia

Die Hamangia-Kultur entwickelte ihren eigenen Stil, der sich in schwarzpolierter Töpferware, die mit weiß inkrustierten Dreiecken, Mäandern und Zickzacklinien verziert sind, sowie in individualistischen Terrakotta- und Marmorfiguren zeigt. Man hat weibliche Skulpturen auf dem Rücken liegend in Gräbern gefunden. Stehende oder sitzende üppige weibliche Figuren mit säulenförmigem Kopf ohne Gesichtszüge gibt es ebenfalls. In einem Grab in Cernavodǎ wurden ein männliches und ein weibliches Terrakottaidol gefunden, beide sind maskiert, sitzend und nackt dargestellt. Sie sind etwa 12 cm hoch, aus sorgfältig poliertem, graubraunem Ton. Der Mann sitzt auf einem Hocker und stützt sein Kinn in beide Hände, die Frau hat beide Hände auf dem rechten Knie. Der Mann ist eines der berühmtesten Kunstwerke des europäischen Aeneolithikums.

Wikipedia: Hamangia-Kultur

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Aussage

Der Erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass man in rekursiv aufzählbaren Systemen der Arithmetik nicht alle Aussagen formal beweisen oder widerlegen kann:

Jedes hinreichend mächtige, rekursiv aufzählbare formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.

Eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein System „ausreichend mächtig“ ist, ist dabei, dass es natürliche Zahlen mit Addition und Multiplikation beschreibt und dass sich einige elementare Eigenschaften von natürlichen Zahlen darin ausdrücken und beweisen lassen, darunter beispielsweise, dass es keine natürliche Zahl unter null gibt und dass sich Aussagen wie x=0, x=1 oder x=2 usw. formulieren lassen.

Beweisskizze

Gödel zeigte den Satz ursprünglich unter einer etwas stärkeren Voraussetzung als der Konsistenz, nämlich der ω-Konsistenz, welche in dieser Skizze der Einfachheit halber auch angenommen wird.

Seine Argumentation benutzt eine Abzählung aller Sätze innerhalb des betrachteten formalen Systems. Hierbei wird jedem Satz eine eindeutige Nummer (seine Gödelnummer) zugewiesen. Gödel konstruiert dann eine Formel der Form

„Der Satz mit der Nummer x ist nicht ableitbar“

und zeigt mit Hilfe einer Diagonalisierung, dass es eine Einsetzung n für x gibt, sodass der Satz mit der Nummer n äquivalent zu der Aussage

„Der Satz mit der Nummer n ist nicht ableitbar“

ist. Damit erhält er einen Satz mit der intuitiven Bedeutung „Ich bin nicht ableitbar“, den sogenannten Gödelsatz. Diese Konstruktion motivierte Gödel selbst mit dem Lügner-Paradoxon.

Man betrachte nun den Satz „Der Satz mit der Nummer n ist ableitbar“. Anhand eines Widerspruchsbeweises zeigt sich, dass dieser Satz ebenso wenig wie seine Negation ableitbar und somit das System unvollständig ist: Angenommen, der Satz wäre ableitbar. Dann ergibt sich aus der ω-Konsistenz und der Stärke des Systems, dass der Satz mit der Nummer n ableitbar ist. Dieser ist aber gerade äquivalent zur Negation des Satzes „Der Satz mit der Nummer n ist ableitbar“. Hieraus ergibt sich ein Widerspruch im System. Da dieses aber als konsistent angenommen wurde, kann der Satz nicht ableitbar sein.

Man nehme nun an, dass die Negation des Satzes, also der Satz „Der Satz mit der Nummer n ist nicht ableitbar“ ableitbar ist und somit auch der dazu äquivalente Satz mit der Nummer n. Weil das System als hinreichend mächtig angenommen wird, um diesen Beweis innerhalb des Systems „nachzuvollziehen“, folgt nun, dass der Satz „Der Satz mit der Nummer n ist ableitbar“ ableitbar ist. Hierfür müsste allerdings wiederum das System widersprüchlich sein. Also ist auch der Satz „Der Satz mit der Nummer n ist nicht ableitbar“ nicht ableitbar. Der metasprachliche Satz, dass der Satz mit der Nummer n in dem System nicht ableitbar ist, ist somit jedoch bewiesen.

Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze

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Den Denker von Hamangia

Den Denker von Hamangia

Die Hamangia-Kultur entwickelte ihren eigenen Stil, der sich in schwarzpolierter Töpferware, die mit weiß inkrustierten Dreiecken, Mäandern und Zickzacklinien verziert sind, sowie in individualistischen Terrakotta- und Marmorfiguren zeigt. Man hat weibliche Skulpturen auf dem Rücken liegend in Gräbern gefunden. Stehende oder sitzende üppige weibliche Figuren mit säulenförmigem Kopf ohne Gesichtszüge gibt es ebenfalls. In einem Grab in Cernavodǎ wurden ein männliches und ein weibliches Terrakottaidol gefunden, beide sind maskiert, sitzend und nackt dargestellt. Sie sind etwa 12 cm hoch, aus sorgfältig poliertem, graubraunem Ton. Der Mann sitzt auf einem Hocker und stützt sein Kinn in beide Hände, die Frau hat beide Hände auf dem rechten Knie. Der Mann ist eines der berühmtesten Kunstwerke des europäischen Aeneolithikums.

Wikipedia: Hamangia-Kultur